Waarom klinkt een octaaf of terts zo mooi en herkenbaar? Waarom is de eerste kerkmuziek gebaseerd op reine kwinten? Dat is voer voor wiskundigen. Voer voor fysici.

Laat ik bij het begin beginnen. Onze westerse muziek bestaat uit twaalf tonen, die we noten noemen. We hebben de C, C#, D, D#, E, F, F#, G, G#, A, A# en B. Voor de muzikale nerds onder ons, je kunt ze natuurlijk ook opschrijven met mollen in plaats van kruisen: C, Db, D, Eb, E, F, Gb, G, Ab, A, Bb, B.

Denk maar eens aan een piano, de zeven witte en vijf zwarte toetsen die samen de bekende toonladder vormen. Twaalf stuks, twaalf stappen. Met alleen de zeven witte toetsen hebben we trouwens te maken met het zeer bekende Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Ti, Do. En ja, dat zijn er inderdaad acht, maar we spelen of zingen die ‘hogere Do’ mee omdat het zo lekker voelt. En dat heeft een reden.

Geluid wordt veroorzaakt door trillingen in de lucht, ook wel geluidsgolven genoemd, die met een bepaalde regelmaat tegen je trommelvlies tikken. Je hersens maken daar vervolgens iets moois van. Een octaaf is een verdubbeling van de frequentie van die golven, ofwel een halvering van de golflengte. Als je begint met een A, meestal een frequentie van 440 geluidstrillingen per seconde, dan heeft het octaaf hoger een frequentie van 880. Precies een factor 2, dus de golflengte van het octaaf past precies twee keer in de grondtoon. Daarom klinken die twee als je ze tegelijk speelt zo harmonisch, en past die ‘hogere Do’ zo fijn in dat riedeltje!

Het bijzondere van al die tonen is dat elke stapje in de reeks eenzelfde frequentieverhouding heeft, maar welke?

We maken even een uitstapje naar de middelbare school. Wiskunde, en wel worteltrekken. De tweedemachtswortel uit een getal is dat getal dat als je het vermenigvuldigt met zichzelf, je precies weer het oorspronkelijke getal terugkrijgt. Dus de tweedemachtswortel uit 16 is 4, want 4 x 4 = 16.
Dat concept kun je uitbreiden en dat is nou net wat een wiskundige leuk vindt en ook graag doet. Zo hebben ze de derdemachtswortel verzonnen. Dan vermenigvuldig je het getal niet twee keer, maar drie keer met zichzelf. De derdemachtswortel uit 27 is dus 3, want 3 x 3 x 3 = 27.

In de wiskunde zijn we echter lui en schrijven we wortels op deze manier:

En die laatste is precies waar ik muzikaal naartoe wil. Je kunt dus ook de twaalfdemachtswortel definiëren. Dat is het getal dat je twaalf keer met zichzelf moet vermenigvuldigen om precies het oorspronkelijke getal terug te krijgen. In dit voorbeeld dus het getal 2, twaalf maal zichzelf. Dat is echt 4096, reken maar na.

Nu weer terug naar onze octaaf, precies een factor 2. Als je nu de twaalfdemachtswortel van 2 neemt, dan is dat het verhoudingsgetal tussen onze toonhoogten. Even rekenen, en dan kom je uit op:

Als ik het getal S twaalf keer met zichzelf vermenigvuldig, dan kom ik precies op 2 uit, het octaaf. Dus de frequentiestap van C naar C# is een factor 1,059463. Van C# naar D is ook een factor 1,059463 en van D naar D# ook, etc.

En dan hebben we de kwinten, waar veel oude muziek op gebaseerd is. Waarom? Omdat ook die verhouding tussen toonhoogten lekker in het gehoor ligt! Een kwint is de stap van bijvoorbeeld C naar G, of van E naar B, in onze reeks dus altijd zeven stapjes. Als je zeven keer het getal S met zichzelf vermenigvuldigt dan kom je uit op 1,49831, dus bijna anderhalf. In de wiskunde schrijf je dat zo op:

De golflengte van de toon G past ongeveer anderhalf keer in de grondtoon C. Dus twee keer de golflengte van C past in drie keer de golflengte van G. Daarom klinken kwinten zo harmonisch! Bijna net zo gemakkelijk als de octaven. Logisch dat de eerste vormen van westerse muziek ook de kwinten al snel omarmden.

Vele jaren later raakte de terts pas in de mode. Waarom toen pas? Ook dat is natuurkundig of wiskundig goed te verklaren. De terts is de stap van bijvoorbeeld C naar E, of van F naar A, dus vier sprongetjes op de toonladder. Als je vier keer het getal S met zichzelf vermenigvuldigt dan is dat 1,25992, dus bijna vijf vierde. Ook wel geschreven als:

Dus vier keer de golflengte van C past in vijf keer de golflengte van E. Het wordt al complexer. Ook tertsen klinken harmonisch, maar al net iets minder dan kwinten! Dat was al even wennen geblazen.

In de evolutie raken wij mensen langzaam maar zeker meer vertrouwd met allerlei toonhoogteverhoudingen. Dat hebben we te danken aan muzikanten die durfden te experimenteren met hun composities. Daarom lusten we tegenwoordig ook jazzy bluestonen, waarbij die verhoudingen nóg hoger liggen. De “blue note” heeft zes stapjes, waardoor de verhouding 1,41421 is, dus ongeveer zeven vijfde. Dus vijf keer de golflengte van C past in zeven keer de golflengte van de “blue note” F#. Wederom complexer! Daarom klinken deze bluestonen in de klassieke muziek niet fijn, maar in de muziek van nu te gek! Onze oren zijn er na vele decennia blues- en jazzmuziek luisteren aan gewend geraakt.

Moderne klassieke muziek gaat op deze voet verder en maakt het voor onze oren en hersenen steeds ingewikkelder. Onze achterkleinkinderen zullen er zeker van genieten, terwijl bij ons de wenkbrauwen nu nog wel eens fronsen.

Veel luisterplezier!

Dit wil ik delen!

AUTEUR

Rom van Strijp (1959) is werkzaam als international learning consultant bij Océ. Hij studeerde Electrotechniek aan de TU Delft. Woont sinds 1984 in Venlo. Hij is al 25 jaar vrijwilliger bij het Zomerparkfeest, waarvan negen jaar als voorzitter. In zijn vrije tijd is hij cultureel betrokken in de stad Venlo, speelt hij zaalvoetbal en saxofoon in een bandje.

1 reactie

Reageren

Yep, ook Krag.nu maakt gebruik van cookies! UITLEG

Alle websites maken gebruik van cookies, Krag.nu dus ook! Het zijn kleine bestandjes die op je computer geplaatst worden en ervoor zorgen dat de website goed werkt. Bovendien helpen ze om Krag.nu te kunnen verbeteren.

Er worden geen privégegevens verzameld!

Deze cookiemelding is verplicht omdat er op Krag.nu filmpjes te zien zijn die op YouTube staan. Daardoor ontvang je mogelijk ook cookies van die website. Wil je dit niet? Pas dan daar je instellingen aan.

Sluiten